Как решить квадратное уравнение

Квадратные уравнения часто встречаются в ряде задач по математике и физике, поэтому умение решать их обязательно для каждого студента. В этой статье подробно описаны основные методы решения квадратных уравнений, а также приведены примеры их использования.

В данной статье рассматриваются основные методы решения квадратных уравнений.

Какое уравнение называется квадратным уравнением Реклама Прежде всего, давайте ответим на вопрос этого параграфа, чтобы лучше понять, о чем пойдет речь в статье. Оставшиеся коэффициенты b, c могут принимать абсолютно любое значение, в том числе и нулевое. Решение квадратного уравнения заключается в нахождении таких значений x, которые удовлетворяют его равенству. Эти значения называются корнями. Поскольку рассматриваемое уравнение является выражением второй степени, это означает, что максимальное количество его корней не может превышать двух.

Какие методы решения квадратных уравнений существуют Реклама В общем случае существует 4 метода решения квадратных уравнений. Ниже перечислены их названия: Разложение на множители.

Используется известная формула через дискриминант. Метод решения геометрический. Вам будет интересно:

Что означает слово "прозрачность?"

Что означает слово "прозрачность"?

Как видно из приведенного списка, первые три метода являются алгебраическими, поэтому они используются чаще, чем последний, который предполагает построение графика функции. Существует еще один метод решения квадратных уравнений по теореме Виета.

Его можно было бы включить 5-м в список выше, но это не так, поскольку теорема Виета является простым следствием 3-го метода. Далее в статье мы более подробно рассмотрим названные методы решения и приведем примеры их использования для нахождения корней конкретных уравнений. Факторизация В математике квадратных уравнений есть красивое название этого метода: факторизация.

Суть этого метода заключается в следующем: нужно представить квадратное уравнение в виде произведения двух членов выражения , которое должно быть равно нулю. После такого представления мы можем использовать свойство произведения, которое равно нулю только тогда, когда один или несколько из всех его членов равны нулю. Теперь рассмотрим последовательность конкретных операций, которые необходимо выполнить, чтобы найти корни уравнения: Отбросить все члены в одной части выражения, например, слева, так, чтобы в другой его части справа остался только 0.

Представьте сумму членов в одной части равенства как произведение двух линейных уравнений. Приравняйте каждое из линейных выражений к нулю и решите их. Вам будет интересно: Коммуникативный метод преподавания английского языка: Основные принципы, учебники, результаты, отзывы Реклама Как видите, алгоритм факторизации довольно прост, однако у большинства учеников вызывает затруднения 2-й пункт, поэтому объясним его более подробно.

Для того чтобы угадать, какие 2 линейных выражения при умножении друг на друга дадут искомое квадратное уравнение, необходимо запомнить два простых правила: Линейные коэффициенты двух линейных выражений при умножении друг на друга должны давать первый коэффициент квадратного уравнения, которым является число a.

Свободные члены линейных выражений при умножении должны дать число c искомого уравнения. После того, как все числа множителей выбраны, перемножьте их, и если они дают искомое уравнение, то переходите к пункту 3 в приведенном выше алгоритме, в противном случае множители следует изменить, но сделать это нужно так, чтобы всегда выполнялись вышеприведенные правила.

В приведенном выше алгоритме множители следует изменить.

Пример решения квадратного уравнения методом факторизации Покажем наглядно, как работает алгоритм решения квадратного уравнения, и найдем неизвестные корни. Приступим к его решению, соблюдая последовательность шагов с 1 по 3, которые были изложены в предыдущем пункте статьи. Шаг 1. Перенесите все члены в левую часть и выстройте их в классической последовательности для квадратного уравнения. Пункт 2: Разложите его на произведение линейных уравнений. Оно удовлетворяет правилам нахождения ожидаемых множителей, изложенным в параграфе выше.

Это означает, что мы правильно угадали множители, и можем перейти к пункту 3 алгоритма. Пункт 3: Если есть сомнения в полученном результате, рекомендуется провести проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение.

Корни были найдены правильно. Таким образом, путем факторизации мы выяснили, что данное уравнение имеет два различных корня: 2 и Сложение в полный квадрат В алгебре квадратных уравнений метод множителей не всегда может быть использован, так как в случае дробных значений коэффициентов квадратного уравнения возникают трудности в реализации пункта 2 алгоритма.

В алгебре квадратных уравнений метод множителей не всегда может быть использован, так как в случае дробных значений коэффициентов квадратного уравнения возникают трудности в реализации пункта 2 алгоритма.

В алгебре квадратных уравнений метод множителей не всегда может быть использован.

Метод полного квадрата, в свою очередь, является универсальным и может быть использован для любого типа квадратного уравнения. Его суть заключается в выполнении следующих операций: Члены уравнения, содержащие коэффициенты a и b, нужно опустить в одну часть равенства, а свободный член c - в другую. Сумма членов с коэффициентами a и b должна быть представлена как квадрат линейного уравнения.

После возведения линейного выражения в квадрат, в правой части уравнения, где находится свободный член, добавьте соответствующее число, которое получится при возведении в квадрат.

Описанный алгоритм на первый взгляд может показаться довольно сложным, но на практике его проще реализовать, чем метод факторизации. Пример решения методом сложения в полный квадрат Пример квадратного уравнения для отработки решения методом, описанным в предыдущем разделе.

Начните решать его, следуя описанному выше алгоритму. Приведенная форма этого уравнения получается путем деления каждого из его членов на число 5. Если при равенстве обеих частей делить или умножать на одно и то же число, то равенство будет выполняться. Разложите его, и полученный свободный член следует вычесть из левой части равенства, чтобы удовлетворить исходной форме квадратного уравнения, что эквивалентно добавлению его к правой части. Пункт 4: Поскольку в выполняемых вычислениях задействованы корни, существует большая вероятность совершения ошибки.

Поэтому целесообразно проверить правильность найденных корней x2 и x1. Таким образом, мы показали, что найденные корни уравнения верны. Применение известной формулы Этот способ решения квадратных уравнений, пожалуй, самый простой, поскольку предполагает подстановку коэффициентов в известную формулу.

Для его использования не нужно думать о составлении алгоритмов решения, достаточно запомнить одну формулу. Она показана на рисунке выше.

Значение этой формулы определяет, какие корни вы получите. D Пример решения через вычисление дискриминанта Вот пример квадратного уравнения для тренировки использования вышеприведенной формулы. Использование графика функции Это также называется графическим методом решения квадратных уравнений.

Следует сказать, что обычно он используется не для количественного, а для качественного анализа рассматриваемого уравнения. Затем необходимо определить, в каких точках парабола пересекает ось абсцисс X; это и будут корни рассматриваемого уравнения. Чтобы сказать, будет ли парабола пересекать ось X, достаточно знать положение ее минимума максимума и направление ее ветвей, они могут либо увеличиваться, либо уменьшаться.

То есть, приведенное выше уравнение не имеет действительных корней. Суть теоремы Виета в том, что она позволяет соединить в равенство коэффициенты уравнения и его корни. Получим соответствующие уравнения. Воспользуемся формулой для вычисления корней через дискриминант. Таким образом, для решения квадратных уравнений по теореме Виета мы можем использовать полученные два уравнения.

Если известны все три коэффициента уравнения, то корни можно найти, решив соответствующую систему из двух уравнений. Можно подставить в нее значение корней и посмотреть, выполняется ли равенство. Обратное применение теоремы Виетта, то есть вычисление корней по известной форме уравнения, позволяет для небольших целых чисел a, b и c быстро находить решения интуитивно.

Вам понравилась эта статья? Поделитесь ею со своими друзьями: Реклама.


Навигация

thoughts on “Как решить квадратное уравнение

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *